九年级数学复习提纲

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（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
               x1，2＝ ；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
            x1＝x2＝－ ；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1  判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0；         （2）x2－ax－1＝0； 
（3） x2－ax＋(a－1)＝0；    （4）x2－2x＋a＝0．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2  根与系数的关系（韦达定理）

  若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
  ， ，
则有
     ；
       ．
 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x¬2＝ ，x1•x2＝ ．这一关系也被称为韦达定理．
 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知  
   x1＋x¬2＝－p，x1•x2＝q，
 即      p＝－(x1＋x¬2)，q＝x1•x2，
 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x¬2)x＋x1•x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x¬2)x＋x1•x2＝0．因此有
 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－(x1＋x¬2)x＋x1•x2＝0．
例2  已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
例3   已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
例4  已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
 例5  若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
 （1）求| x1－x2|的值； 
（2）求 的值；
（3）x13＋x23．
 
 
 
例6  若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
练    习
1．选择题：
（1）方程 的根的情况是                         （    ）
    （A）有一个实数根                （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根          （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是                                                      （     ）
    （A）m＜                        （B）m＞－     
  （C）m＜ ，且m≠0              （D）m＞－ ，且m≠0     

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