季节性与客房数规划方法

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          假定饭店规模即床位数为n,日饭店需求量为d,显然，当d>n时供不应求，由于多接待一位客人带来的收益一般应大于至少不小于带来的可变成本，则接待客人越多利润越大，从而有接待量q=n；当d≤n时，饭店接待量等于需求量，即q=d。我们接着令饭店接受一个固定价格p，则可推导出这一饭店收入R的表达式为：当d≤n时，R=d•p；当d>n时，R=n•p。容易看出，在日饭店需求量为d和价格p固定的情况下，饭店收入取决于饭店规模n，即饭店收入为饭店规模n的函数，用数学公式表达为：R=r(n)。
          饭店利润不仅取决于收入，也取决于成本。一般我们可以将饭店成本分为两个部分，即可变成本和固定成本。其中可变成本取决于接待量,与饭店收入的推导相类似，在日饭店需求量为d和价格p固定的情况下，我们也可进一步推得饭店可变成本V取决于饭店规模n，即饭店可变成本V也为饭店规模n的函数，用数学公式表达为：V=v(n)。固定成本取决于饭店规模，令饭店固定成本F的表达式为F=f(n)，则有总成本C的表达式为：C=V+F=v(n)+f(n)=c(n)。
饭店利润等于饭店收入减去饭店成本，即饭店利润Π=R-C=r(n)-c(n)= π(n)。由于饭店利润Π为饭店规模n的函数，则我们可

www.5ijcw.com 从饭店利润最大化的一阶条件导出最优规模n*。饭店利润最大化的一阶条件是Π´=0，即π´(n)=0，也就是r´(n)=c´(n)。最后一个等式其实就意味着边际成本等于边际收入，更明白地说，就是增加一个床位带来的收入等于增加的成本。这个结论是我们接下来推导客房数规划方法的一个基础。

        5 客房数规划方法
          上文得出当床位数处在最优规模时增加一个床位带来的收入等于增加的成本。我们就从这一结论推导客房数规划方法。
          我们首先分析增加一个床位可以带来什么样的收入。已知最优规模为n*,显然当饭店日需求量小于最优规模时，增加床位并不能增加收入；当饭店日需求量大于最优规模时，增加床位就可增加接待量，从而增加收入。设规划期饭店日需求量超过n*的天数为t,现在增加一个床位，则意味着可增加接待t人天，增加收入为t•p。
  我们其次分析增加一个床位会带来什么样的成本。增加的成本分为两部分，一部分是固定成本，一部分为可变成本。由于固定成本取决于饭店规模，假设固定成本和饭店规模成正比，令规划期总天数为T,每个床位每天分摊的固定成本为f,则有增加一个床位增加的总固定成本F的表达式为T•f。由于可变成本取决于接待量，我们假设可变成本和接待量成正比，令接待每位客人每天的可变成本为v,则接待q位客人成本为q•v。当饭店日需求量小于最优规模时，增加床位不会增加接待

www.5ijcw.com 量，因此也不会增加可变成本；当饭店日需求量大于最优规模时，增加床位可增加接待量，从而也会增加可变成本，由于增加接待t人天，则可变成本增加t•v。增加的总成本是固定成本和可变成本之和，即T•f+ t•v。
          我们令增加的收入等于增加的成本，即有t•p=T•f+ t•v，对这个等式进行调整，我们即可得到如下等式：

          f是每个床位应分摊的固定成本，可反映闲置损失的大小；(p-v)是价格减去可变成本，可看作指定规模下饭店增加接待一位客人带来的收益贡献，即可反映机会损失的大小，所以比例f/(p-v)可称之为闲置机会比。t为饭店日需求量超过n*的天数, T为规划期总天数,因而t/T代表规划期饭店日需求量超过饭店最优规模的天数占总天数的比例。饭店利润最大化要求这两个比例相等，这给我们提供了如下考虑到季节性的客房数规划方法：最优规模应该使得闲置机会比与规划期饭店日需求量超过饭店最优规模的天数占总天数的比例相等，或者说，最优规模应该使得规划期饭店日需求量超过饭店最优规模的天数等于闲置机会比和规划期总天数的乘积。[Page]

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