兰州市2011年初中毕业生学业考试数学答案

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2011年甘肃兰州市初中毕业生学业考试数学试卷
 
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟.
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置.
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置.
一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列方程中是关于的一元二次方程的是
A.          B.
C.      D.
2.如图，某反比例函数的图像过（-2,1），则此反比例函数表达式为
A.         B.    C.     D.
3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于
A.  20°       B. 30°   C.  40°   D. 50°

4.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△则tan的值为
A.         B.    C.     D.
5.抛物线的顶点坐标是
A. （1,0）       B. （-1,0）   C.  （-2,1）    D. (2,-1)
6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是

7.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是
A.  m=3，n=5       B. m=n=4   C.  m+n=4   D. m+n=8
8.点M（-sin60°，con60°）关于x轴对称的点的坐标是
A. （， ）    B. （，）   C.  （，）   D. （，）
9.如图所示的二次函数的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
（1）＞0；（2）c＞1；(3)2a-b＜0；(4)a+b+c＜0.你认为其中错误的有
A.  2个       B. 3个   C.  4个   D. 1个

10.用配方法解方程时，原方程应变形为
A.        B.    C.     D.
11.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为
 A.                 B.  
 C.               D.
12.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O的半径为
A. 6       B. 13      C.        D.

13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形.
其中真命题的个数是
A. 1      B. 2      C.  3      D. 4
14.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是

15.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C在反比例函数的图像上.若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为
A. 1      B. -3     C.  4      D. 1或-3

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）
16.如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=            度.

17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为                .
18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是           m.（结果用π表示）

19.关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0）.则方程的解是                              .
20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为
                         .

三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
21. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a是锐角，且sin（a+15°）=.
计算4cosα+tanα+的值.
22.（本小题满分7分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）.记s=x+y.
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s＜6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？

23.（本小题满分7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：
（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？
（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；
（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？
（4）请根据以上结论谈谈你的看法.

24.（本小题满分7分）如图，一次函数的图像与反比例函数（＞0）的图像交与点P，PA⊥轴于点A，PB⊥轴于点B.一次函数的图像分别交轴、轴于点C、点D，且=27，=.
(1)求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的表达式；
（3）根据图像写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

25. （本小题满分9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.
(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C             、D               ；
②⊙D的半径=                 （结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为          （结果保留π）；
④若E（7,0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.

26. （本小题满分9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°=          .
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是               .
（3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值.

27. （本小题满分12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

28. （本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）.
（1）求抛物线的表达式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=().
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

参考答案
一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 C B C B A D D B D C A C A B D
二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）
16．63      17．75°     18.       19． x1= -4,x2= -1    20．
三、解答题（本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本题满分7分）
解：∵sin60°=
 ∴α+15°=60°
 ∴α=45°………………………………………………………………………………2分
 ∴－4cosα—(－3.14)0+tanα+=2—4×—1+1+3=3………7分
 每算对一个给1分，最后结果得1分
22．（本题满分7分）
解：（1）列表：
      y
        x  2  4     6
 1 （1，2） （1，4） （1，6）
 2 （2，2） （2，4） （2，6）
 3 （3，2） （3，4） （3，6）
 4 （4，2） （4，4） （4，6）
 
 
 …… 4分
  
（2）∵P（甲获胜）=      ……………………………………………………5分
  P（乙获胜）=           ……………………………………………6分
 ∴这个游戏不公平，对乙有利。     ……………………………………………7分 
 23．（本题满分7分）
解：（1）   
 ∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是………………2分
 （2）720×(1)12020=400(人) ∴“没时间”锻炼的人数是400  ……4分
      （计算和作图各得1分 ）                          
 （3）2.4×(1-)=1.8(万人) ∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时
 约有1.8万人.        ……………………………………………………………6分
 （4）说明:内容健康，能符合题意即可.  ………………………………………7分
 
 
 
 
 24．（本题满分7分）
解：（1）根据题意，得：
 ………………………………………………………………………………1分
 （2）在△和△中，      
     ,
 ∴ …………………………………2分
 ∵ 
 ∴          
 △中，∵
  ∴………………………………………3分
  ………………………………………4分
一次函数的解析式为：                 ………………………………………………………………5分
 反比例函数解析式为：   ………………………………………………………………………6分
（3）如图可得：    ……………………………………………………………7分
25.（本题满分9分）
解：（1）①建立平面直角坐标系………………………………………………1分
 ②找出圆心  …………………………………………………………3分
 （2）①C（6，2）；D（2，0） …………………………………………5分
 每个点的坐标得1分
 ②2　 ……………………………………………………………………6分
 ③   ……………………………………………………………………7分
 ④直线EC与⊙D相切　　………………………………………………8分
 证CD2＋CE2＝DE2＝25　　　（或通过相似证明）
 得∠DCE＝90°　  …………………………………………………………9分
 ∴直线EC与⊙D相切　
26．（本题满分9分）
（1）1        …………………………2分
（2）………………………4分
 (3) 解：                                  
 
 
 
 
如图，在△ABC中，∠ACB=，sin∠A.
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k，
 则AD= AC==4k，………………………………6分
又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.
 ∴，.
则在△CDH中，，.…………8分
于是在△ACD中，AD= AC=4k，.
由正对定义可得：sadA=    ………………………………………………9分
27．（本题满分12分）
解: （1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO
∵AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∴△AOE≌△COF
∴AE＝CF，又AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形　…………………………2分
∵AC⊥EF　
∴四边形AECF是菱形………………………………………………………………4分
（2）∵四边形AECF是菱形　
∴AF＝AE＝10cm
设AB＝ａ，BF＝ｂ，
∵△ABF的面积为24cm2
a＋b＝100，ab＝48  ……………………………………………………………………6分
(a＋b）＝196　ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去）……………………7分
△ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝24cm………………………………………………………8分
（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点……………9分
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP
 ∴△AOE∽△AEP　　　　　　
 ∴　
 ∴　AE＝AO·AP          ……………………………………………………11分
  
 ∵四边形AECF是菱形，
 ∴AO＝AC
 ∴AE＝AC·AP
 ∴2AE=AC·AP……………………………………………………………………12分
  
28．（本题满分12分）
解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）, 
 则                                 解得 
  
      ∴抛物线的解析式为:   ……………………………………… 3分（三个系数中，每对1个得1分）
 
  (2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
 即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1)   ……………………………………………………… 5分
 （解析式和t取值范围各1分）
 ②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
 ∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1),  ∴当S=时,  5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
 解得 t = ，t = （不合题意，舍去） ……………………………………… 7分
 此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
 若R点存在，分情况讨论:
 1O假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
  即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
 ∴这时存在R(3, －)满足题意. …………………………………………………… 8分
 2O假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －)  代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. ……………………… 9分
 3O假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
  左右不相等, ∴R不在抛物线上. ………………………………………………… 10分
    综上所述, 存在一点R(3, －)满足题意.
 （3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…………………………………………………… 12分

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